摘要
贝塞尔曲线（Bézier Curve）作为计算机图形学、工业设计与自动控制等多个领域的基础数学工具，自 20 世纪中叶提出以来，已经形成了一套完备的几何表达体系。进入深度学习与可控生成模型的时代后，贝塞尔曲线凭借其稳定性、可微性与结构化特征，再次获得广泛关注。本文系统梳理贝塞尔曲线的数学原理、构造方法、性质证明、计算实现与工程应用，并进一步讨论其在智能系统中的发展趋势。文章旨在构建一个从数学基础到现代应用的统一视角，以支持未来在 AI、机器人、数字孪生、复杂图形生成等方向的研究。
一、引言
贝塞尔曲线最初由法国工程师 Pierre Bézier 于 1960 年代在雷诺汽车公司提出，用以支持汽车车身外形的工业设计。与传统的插值曲线不同，贝塞尔曲线以“控制点（control points）”作为参数，使得复杂形状能够通过有限的几何约束实现精确控制。
其后，随着图形计算的发展，贝塞尔曲线成为矢量图形、字体排印、运动规划、工程几何、机器人轨迹控制等领域的主导表示形式。进入 AI 时代后，贝塞尔曲线凭借其可微性（differentiability）以及对高维潜空间的友好表达，再次成为生成式模型中的结构化几何工具。
二、数学基础
2.1 伯恩斯坦基函数与贝塞尔曲线的形式化定义
给定控制点集合 {P0, P1, …, Pn}，贝塞尔曲线定义为：
B(t) = Σ P_i * b_{i,n}(t)
其中伯恩斯坦基函数：
b_{i,n}(t) = C(n,i) * (1-t)^(n-i) * t^i
性质：
1. 非负性
2. 归一化
3. 端点插值性
4. 多项式结构（连续可微性强）
2.2 De Casteljau 算法：几何构造意义与稳定性
递推形式：
P_i^(0) = P_i
P_i^(k) = (1-t) * P_i^(k-1) + t * P_{i+1}^(k-1)
B(t) = P_0^(n)
优势：数值稳定、易分割、几何意义明确。
三、贝塞尔曲线的核心性质
3.1 凸包性质（Convex Hull Property）
基于伯恩斯坦函数非负且总和为1，可得：
B(t) 为控制点的凸组合 → 曲线始终在凸包内部。
3.2 仿射不变性（Affine Invariance）
对任意仿射变换 A，有：
A(B(t)) = Σ A(P_i) b_{i,n}(t)
意味着缩放、旋转、投影均不改变曲线结构。
3.3 连续性（C0、C1、C2）与分段样条
多段贝塞尔曲线可实现：
C0：位置连续
C1：切线连续（控制点共线且成比例）
C2：曲率连续（适用于高速/平滑运动）
四、计算实现与数值稳定性
4.1 直接计算 vs De Casteljau
伯恩斯坦公式：理论清晰但高阶不稳定
De Casteljau：稳定性强、工业首选
4.2 三次贝塞尔曲线工程实现（Python伪代码）
def cubic_bezier(P0, P1, P2, P3, t):
u = 1 - t
return (
P0 * (u**3) +
P1 * (3 * u*u * t) +
P2 * (3 * u * t*t) +
P3 * (t**3)
)
五、应用体系：跨领域的核心几何工具
5.1 图形学与交互设计
- Illustrator、Figma 的路径系统
- SVG path 的图形基础（M, C, Q 指令）
- 字体轮廓（TrueType 二次、CFF 三次）
5.2 动画与时间控制函数
ease-in / ease-out 时间曲线本质是贝塞尔映射。
5.3 自动驾驶与机器人控制
贝塞尔曲线具有：
- 曲率可控
- jerk 连续
- 可嵌入物理约束
用于轨迹规划、步态生成、路径跟踪等。
5.4 生成式 AI 与可控生成技术
应用包括：
- 潜空间插值
- 相机路径生成
- 动作补间
- 智能笔触生成
六、未来发展趋势：走向智能系统的几何基石
1. 可微几何模块与深度网络融合
2. 高维连续路径优化
3. 自适应智能曲线生成
4. 生成式 AI 的结构化约束基础
七、结论
贝塞尔曲线凭借严谨的数学基础、高稳定性和广泛适用性，从工业设计扩展到图形学、AI、机器人和自动驾驶等诸多领域。未来其在可控生成、数字孪生、智能系统中的作用将持续增强。
